如何计算卫星的空间位置

#GNSS

第1步：计算规化时间 $t_{k}$ ，卫星星历给出的轨道参数是以星历参考时间 $t_{o e}$ 作为基准的，为了得到各个轨道参数在t时刻的值，我们必须先求出t时刻与参考时间 $t_{o e}$ 之间的差异，即：

t_{k} = t - t_{o e}

第2步：计算卫星的平均角速度n
将卫星星历给出的 $a_{s}$ 带入公式

n = \sqrt{\frac{G M}{a_{s}^{3}}} = \sqrt{\frac{μ}{a_{s}^{3}}}

可得那颗在圆周轨道上运行的假象卫星的平均角速度 $n_{0}$ ，还需考虑星历提供的平均角速度校正值 $Δ n$ ，所以校正后的卫星平均角速度为：

n = n_{0} + Δ n

第3步：计算信号发射时刻的平近点角 $M_{k}$
将星历给出的 $M_{0}$ 代入以下的线性模型公式：

M_{k} = M_{0} + n t_{k}

即可得到 $t_{k}$ 时刻的平近点角。

第4步：计算信号发射时刻的偏近点角 $E_{k}$
给出平近点角 $M_{k}$ 和星历参数 $e_{s}$ ，我们通常可以运用迭代法将偏近点角 $E_{k}$ 从开普勒方程

M = E - e_{s} s i n E

中求解出来。 $E_{k}$ 的迭代初始值 $E_{0}$ 可置为 $M_{k}$ 。

第5步：计算信号发射时刻的真近点角 $v_{k}$
将 $E_{k}$ 和 $e_{s}$ 代入

c o s ν = \frac{c o s E - e_{s}}{1 - e_{s} c o s E}

s i n ν = \frac{\sqrt{1 - e_{s}^{2}} s i n E}{1 - e_{s} c o s E}

ν = a r c t a n (\frac{\sqrt{1 - e_{s}^{2}} s i n E}{c o s E - e_{s}})

即可求出真近点角。

第6步：计算信号发射时刻的升交点角距 $Φ_{k}$
将卫星星历给出的 $ω$ 代入下式：

Φ_{k} = v_{k} + ω

即可得出升交点角距 $Φ_{k}$ 。

第7步：计算信号发射时刻的摄动校正项升交点角距 $δ u_{k}$ ， $δ r_{k}$ 和 $δ i_{k}$
将星历参数 $C_{u c}$ , $C_{u s}$ , $C_{r c}$ , $C_{r s}$ , $C_{i c}$ , $C_{i s}$ 和由上一步得到的升交点角距 $Φ_{k}$ 代入以下各式：

δ u_{k} = C_{u s} s i n (2 Φ_{k}) + C_{u c} c o s (2 Φ_{k})

δ r_{k} = C_{r s} s i n (2 Φ_{k}) + C_{r c} c o s (2 Φ_{k})

δ i_{k} = C_{i s} s i n (2 Φ_{k}) + C_{i c} c o s (2 Φ_{k})

可以计算出摄动校正项。

第8步：计算摄动校正后的升交点角距 $u_{k}$ 、卫星矢径长度 $r_{k}$ 和轨道倾角 $i_{k}$
将上一步计算得到的摄动校正量代入下式：

u_{k} = Φ_{k} + δ u_{k}

r_{k} = a_{s} (1 - e_{s} c o s E_{k}) + δ r_{k}

i_{k} = i_{0} + \dot{i} \cdot t_{k} + δ i_{k}

第9步：计算信号发射时刻卫星在轨道平面的位置 $(x_{k}^{^{'}}, y_{k}^{^{'}})$
通过以下公式将极坐标 $(r_{k}, u_{k})$ 转换为在轨道平面直角坐标系 $(X^{^{'}}, Y^{^{'}})$ 中的坐标 $(x_{k}^{^{'}}, y_{k}^{^{'}})$ ：

x_{k}^{^{'}} = r_{k} c o s u_{k}

y_{k}^{^{'}} = r_{k} s i n u_{k}

这里的直角坐标系的 $X^{^{'}}$ 是由地心指向卫星升交点，而不是指向近地点。

第10步：计算信号发射时刻的升交点赤经 $Ω_{k}$
升交点赤径的线性模型如下：

Ω_{k} = Ω_{0} + (\dot{Ω} - {\dot{Ω}}_{e}) t_{k} - {\dot{Ω}}_{e} t_{o e}

第11步：计算卫星在WGS-84地心地固直角坐标系 $(X_{T}, Y_{T}, Z_{T})$ 中的坐标 $(x_{k}, y_{k}, z_{k})$

x_{k} = x_{k}^{^{'}} c o s Ω_{k} - y_{k}^{^{'}} c o s i_{k} s i n Ω_{k}

y_{k} = x_{k}^{^{'}} s i n Ω_{k} + y_{k}^{^{'}} c o s i_{k} c o s Ω_{k}

z_{k} = y_{k}^{^{'}} s i n i_{k}